已知数列特性解析：通项公式an=2n+3与前n项和公式sn=n²在2024年的应用探究

证明过程如下：

已知数列的前n项和为 Sn，表达式为 Sn = 2n² + 3n。我们进一步考虑 S(n-1)，即前 n-1 项的和，可以表示为 S(n-1) = 2(n-1)² + 3(n-1) = 2n² - n - 1（当 n ≥ 2）。接下来，我们计算数列的通项 an，它等于当前的和 Sn 减去前 n-1 项的和 S(n-1)，即 an = Sn - S(n-1)。将已知的 Sn 和 S(n-1) 的表达式代入，得到 an = 2n² + 3n - (2n² - n - 1) = 4n + 1 （当 n ≥ 2）。经过检验，当 n=1 时，S1 = a1 = 5 也符合上述公式。数列的通项公式为 an = 4n + 1。通过计算相邻两项的差 an - a(n-1)，可以证明该数列为等差数列。当 n ≥ 2 时，an 与前一项 a(n-1) 的差为常数，根据等差数列的定义，我们可以确定这是一个等差数列。总结规律如下：已知数列前 n 项和 Sn 的表达式，要证明它是等差或等比数列时，需要分两步进行：一是求出数列的通项公式；二是验证是否满足等差或等比数列的定义。求数列的通项公式步骤包括：①计算 an = Sn - S(n-1)（当 n ≥ 2）；②检验第一项 a1 是否符合得到的通项公式；③如果符合，则写出结论。对于涉及等比数列与等差数列通项公式的积所构成的新数列的前 n 项和的问题，通常采用错位相减法解决。这类题目有一定的难度，特别是在计算方面较为繁琐。对于提问者，请采纳答案并遵守提问规则，不要删除答案或逃避。如果有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时评论。我们会记录所有信息以备检查诚信。