矩阵可逆是什么意思(一个矩阵可逆说明什么)
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矩阵可逆条件
矩阵的可逆条件是AB=BA=E.矩阵可逆是指一个矩阵有其对应的逆矩阵的情况。线性代数中,给定一个n阶方阵A,若有一个n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=E且BA=E满足其中任意一个),其中E为n阶单位矩阵,则称A可逆。
为什么矩阵是可逆矩阵
证明矩阵可逆的方法如下:
1、矩阵的秩小于n,那么这个矩阵不可逆,反之可逆。
2、矩阵行列式的值为0,那么这个矩阵不可逆,反之可逆。
3、对于齐次线性方程AX=0,若方程只有零解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。
4、对于非齐次线性方程AX=b,若方程只有特解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。
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逆矩阵:设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。
定义:一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异的,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E。并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、(唯一性)如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T(转置的逆等于逆的转置)
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明:
1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C。
2、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
4、矩阵A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I5、由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。
而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I。得B-C=O,即B=C。
矩阵可逆是什么意思通俗易懂
矩阵可逆是指一个矩阵拥有对应逆矩阵的情况。在线性代数中,给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=E、BA=E任满足一个),其中E为n阶单位矩阵,则称A是可逆的,且B是A的逆阵,记作A^(-1)。
设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
什么是矩阵可逆
矩阵可逆是指一个矩阵拥有对应逆矩阵的情况。给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=E、BA=E任满足一个),其中E为n阶单位矩阵,则称A是可逆的,且B是A的逆阵,记作A^(-1)。
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