为什么要正交化(施密特正交化目的)

各位老铁们好，相信很多人对为什么要正交化都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于为什么要正交化以及施密特正交化目的的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！

本文目录

1. 为啥算实对称的时候需要正交化而普通矩阵不需要
2. 为什么实对称矩阵相似对角化要对基础解系正交变换
3. 施密特正交化目的
4. 请问：施密特正交化指的是什么

为啥算实对称的时候需要正交化而普通矩阵不需要

因为如果一个矩阵能够通过正交矩阵变换正交化一定可以写成PDP^-1=PDP^t因此这个矩阵的转置(PDP^t)^t=(P^t)^tD^tP^t=PDP^t是它自己，因此有实对称矩阵才能使用斯密特正交化。

而对于非实对称矩阵不需要斯密特正交化，但可以通过酉矩阵使之正交化，但对角矩阵中对角元不是实数。

为什么实对称矩阵相似对角化要对基础解系正交变换

实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵一般都是为了简化后续的计算。

因为实对称矩阵是特殊的矩阵。他的特点就是可以正交对角化（一般的矩阵只能相似对角化）即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特正交化以及单位化这样做的目的是使得P的逆矩阵AP＝P的转置矩阵AP，即P的逆矩阵＝P的转置矩阵。

如果不进行正交化和对角化则只是P的逆矩阵AP＝B即AB相似。

扩展资料：

实对称矩阵主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，也就是正交相似对角化。

这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求，就是它的转置，不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的矩阵求逆，那要多长时间才能做完？但正交矩阵就太容易了，只要转置一下就行了。

扩展资料：

正交矩阵从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

把一个解析式变成与它恒等的另一个解析式．使用恒等变换往往是在碰到的问题比较繁杂、一时难以下手的时候，通过恒等变换把要解决的问题简化，由未知到已知，最终解决问题．所以，恒等变换的特点就是：将复杂的问题通过表达形式的变形转化成容易解决的简单问题。

它的正交性要求满足三个方程，在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=?q，u=p要么t=q,u=?p。我们可以解释第一种情况为旋转θ(θ=0是单位矩阵)，第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。

旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0)。

施密特正交化目的

施密特正交化就是把非正交基变为正交基的。

施密特正交化的过程其实就是这种过程的重复。对于两个向量而言，以其中一个向量为基，构建出另一个与之垂直的向量。具体的构造方法就是利用两个向量的内积得到其中一个向量在基方向的投影向量，然后直接相减，就能得到垂直于基的向量。这种垂直其实就是来自于向量的内积过程，或者说投影过程。因此我们看到施密特正交化公式中有大量的内积。

说起来似乎很复杂，我更喜欢用一句话来概括施密特正交化方法的核心：

对于一个向量α和另一个基向量β，把α向量中与β向量平行的部分减去，剩下的就是和β向量垂直的部分

这里平行于β向量的部分自然就是指α在β方向上的投影向量。把α向量看成是由β向量和垂直于β的向量的线性组合，可以很自然地得到上面的结论，这也是另一种理解方式。

请问：施密特正交化指的是什么

施密特正交化，就通过线性空间一组基，找到另一组同空间下正交基的方法。

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