二元事业群是什么意思(半群)
很多朋友对于二元事业群是什么意思和什么是，半群不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！
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什么是，半群
（这是关于《范畴论》一系列回答的第五篇，紧接在问题：”什么叫做一一变换？“之后，小石头将在本篇中对前面回答中遗漏的知识点进行补充。）
先回答题主的问题：简单来说，给集合赋予满足结合律的二元运算就是半群，具体分析如下：
自然数（包括零）是人类最早发现的一类数字，同时，加法运算也伴随着自然数一并产生。将全体自然数的集合记为N，则对于任意a,b∈N都有a+b∈N，可见加法运算在自然数集中封闭，于是加法运算就是二元函数，
+:N×N→N,(a,b)?a+b
早期劳动人民通过实践，还总结出，加法满足结合律，即，
(a+b)+c=a+(b+c)
于是连加，被写成：
a+b+c
没毛病！
紧接，古人有在加法基础上发明了乘法运算，它同样在自然数集中封闭，当然也是个二元运算，
·:N×N→N,(a,b)?a·b
同样满足结合律，
(a·b)·c=a·(b·c)
比较，(N,+)和(N,·)，它们完全类似，于是数学家对它们进行了抽象，得到如下定义：
给定非空集合X，以及X上的二元运算°:X×X→X，如果该运算满足结合律，即，
(a°b)°c=a°(b°c)
则称(X,°)为半群，可简写为X。
(N,+)和(N,·)都是半群的实例，再观察还能发现，它们中分别存在0和1这样的特殊数字，使得：
a+0=0+a=a
a·1=1·a=a
于是数学家继续抽象：
在半群(X,°)中如果存在e∈X，使得：
e°a=a°e=e
则称(X,°)为幺半群，称e为幺元。
(N,+)和(N,·)也都是幺半群的实例。
幺半群的实例很多，比如：
将，整数集、有理数集、实数集、复数集分别记为Z、Q、R、C，则(Z,+)、(Z,·)、(Q,+)、(Q,·)、(R,+)、(R,·)、(C,+)、(C,·)都是幺半群；
用K?表示K中大于0的元素，则(Q?,·)是幺半群，而(Z?,+)只是半群不是幺半群；
Mn(K)表示数域K上的全体n阶方阵，则Mn(K)在矩阵的乘法运算下构成幺半群，单位矩阵E就是其中的幺元；
在任意范畴C中，函子的复合运算°也满足结合律，但是复合运算仅仅是MorC上有条件的二元元素，即，
°:MorC×MorC?MorC
必须满足codf=domg的条件g°f才存在，所以(MorC,°)一般来说并不是幺半群。
但是考虑只含有一个对象的范畴，例如，前文中提到的由一个对象R和全体R上的实数函数构成的范畴?，可以保证满足条件，而1?则是幺元，于是类似这样的范畴全体态射和复合运算构成幺半群。首次启发，对于C中任意对象A，Hom(A)关于复合运算也构成幺半群。
函子范畴Funct(A,B)对于其中任意函子F:A→B，其上所有自由变换在自由变换的复合运算下构成幺半群，其中1?是幺元。
除了以上这样已有的幺半群，给定任意集合X我们还可以构造一个幺半群Y，构造方法如下：
将X看做字母表，其中的元素称为字母；
令Y是所有以X为字母的单词的组成的集合；
把Y中任意两个单词x,y拼接在一起，得到的xy依然是单词，于是将这种拼接定义为在Y上二元运算为，即，x°y=xy；
将空白”“视作字母，则有x°=x=°x，将其作为幺元加入Y；
最终，我们就得到了一个幺半群，称为自由幺半群。
实际的构造过程如下：
最初令Y=X；
任取Y中两个元素x和y，如果xy不属于Y则令Y=Y∪{xy}，一直重复这个过程；
最后令Y=Y∪{”“}；
例如：
如果X={a,b,c}则构造结果为Y={”“,a,b,c,ab,ac,bc,ba,ca,cb,aabb,...}
给定一个集合X，以其作为字母表，我们可以构造一个自由幺半群Y，反过来，给定一个自由幺半群Y，我们也可以筛选出作为其字母表的集合X。
观察，(Z,+)和(Q,·)我们发现，它们还有共同点：
对于任意a∈Z，都有b=-a∈Z使得a+b=b+a=0；
对于任意a∈Q，都有b=1/a∈Z使得a·b=b·a=1；
于是数学家规定，
如果幺半群(X,°)满足，
对于任意a∈Y，都有存在b∈Y使得a°b=b°a=e，则该幺半群为群，称b为a的逆元，记为a?1。
有了以上这些抽象的代数系统的定义，数学家就可通过研究它们得到普遍性的数学结论，研究抽象代数系统的数学称为《抽象代数》。
如果两个群G和G'之间的函数f:G→G'如果对于任意a,b∈G，都满足：
f(a°b)=f(a)°f(b)
则称f为群同态。再如果f又是双射，则称f为群同构，并称G和G'同构，记为，G?G'。
群同态的函数复合还是群同态；每个群上的恒等变换是群同构。
于是，以全体群作为对象与群之间的全体群同态作为态射，组成一个范畴，记为Grp。
考虑函子F:Grp→Set，它将Grp的每个群X映射为Set中的集合X，Grp的每个群同态f映射为Set中的函数f，我们称这类函子为忘却函子。
群是不能为空的，最小的群是只含有幺元e的群，称为平凡群。在Grp平凡群既是初始对象又是终止对象，故它是零对象。
设，e'是G'的幺元，定义集合：
Ker(f)={x∈G|f(x)=e}
称Ker(f)为f的同态核。
那么，我们如何将同态核的概念用范畴的语言来表示呢？
显然Ker(f)?G，因此存在含入映射映射：i:Ker(f)→G。
可以证明Ker(f)是一个群，而i是群同态，故Ker(f)是Grp的对象，i是Grp的态射。
又可以定义常值群同态z:G→G'，z(x)=e'，这样就有了：
zi=c
zi=c
即，
zi=fi
这满足等子的条件。于是只要能保证z的存在我们就可以利用等子来表达同态核。
先看z是一个什么东西？
由于z是常值的，于是z是常态射，同时不难发现z还是余常态射，于是z是零态射。
经过数学家研究，发现如下定理：
如果范畴C中存在零对象，那么对于任意对象A，B必然存在唯一的零态射z：A→B。
（由于篇幅有限，定理证明略。）
这样，我们就可给同态核下如下定义：
在有零对象的范畴C中，对于任意态射f:A→B，设，z是A到B的零态射，称f和z的等子为f的核，记为ker(f)。
我们还可以定义核的对偶概念：
在有零对象的范畴C中，对于任意态射f:A→B，设，z是A到B的零态射，称f和z的余等子为f的余核，记为coker(f)。
在Grp中群同态f不讲余核，余核是另一种抽象代数系统模中关于模同态的概念。
末尾，我们来聊一下，霍姆函子H?,H?:C→Set，A∈ObC的一些有趣特性。
给定C中的任意满态射f:B→C，如果对于任意态射g:A→C都有h:A→B，使得
fh=g
则H?(f):Hom(A,B)→Hom(A,C)一定是满同态，反之亦然。为什么呢？
由fh=g知H?(f)(h)=g，即，对于任意g∈Hom(A,C)都存在h∈Hom(A,B)使得H?(f)(h)=g，这符合满射的定义，于是H?(f)是满同态。
这个推理过程可逆，因此反之亦然。
类似地，给定C中的任意满态射f:C→B，如果对于任意态射g:C→A都有h:B→A，使得
hf=g
则H?(f):Hom(C,A)→Hom(B,A)一定是满同态，反之亦然。证明和上面的类似。
如果对于C中的任意两个不同态射f,g:B→C,f≠g，都有h:A→B使得
fh≠gh
则H?一定是可信函子，反之亦然。为什么呢？
由fh≠gh知H?(f)(h)=H?(g)(h)，故H?(f)≠H?(g)，于是得到：f≠g?H?(f)≠H?(g)，其逆反命题为：H?(f)=H?(g)?f=g，这符合单射的定义，所以H?在每个Hom(B,C)到Hom(H?(B)=Hom(A,B),H?(C)=Hom(A,C))上都是单射，因此H?是可信函子。
这个推理过程可逆，因此反之亦然。
类似地，如果对于C中的任意两个不同态射f,g:B→C,f≠g，都有h:C→A使得
hf≠hg
则H?一定是可信函子，反之亦然。证明和上面的类似。
好了由于篇幅有限，这个回答到这里了。能坚持看到这里的条友们，一定是对范畴论抱有极大热情的，同时也能从中获得无比的快乐。小石头在写这些回答的时候，是非常享受的，因为将这份乐趣也分享给大家。
下一篇回答，小石头将会介绍范畴论中的最华彩乐章——伴随，尽请关注。
（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正，非常感谢！）
20以内的群数是什么意思
在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。有限群就是具有有限多个元素的群。群数就是2个2个的数，3个3个的数，4个4个的数，5个5个的数……读音是群数（shǔ）。20以内的群数有4，9，16三个。
什么是导群
在抽象代数中，一个群的交换子或换位子是一个二元运算子。设g及h是群G中的元素，他们的交换子是g-1h-1gh，常记为[g,h]。只有当g和h符合交换律（即gh=hg）时它们的交换子才是这个群的单位元。一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。
什么是交换群
交换群亦称阿贝尔群，是一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。
好了，关于二元事业群是什么意思和什么是，半群的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！
