为什么连续不一定可微(为什么函数可微能推出连续)

2023-09-21 08:32:03栏目：商业

大家好，今天来为大家分享为什么连续不一定可微的一些知识点，和为什么函数可微能推出连续的问题解析，大家要是都明白，那么可以忽略，如果不太清楚的话可以看看本篇文章，相信很大概率可以解决您的问题，接下来我们就一起来看看吧！

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不一定

函数可微则这个函数一定连续,但连续不一定可微.多元函数可微则偏导数一定存在,可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行

不管是实函数还是复变函数,可导和可微分都是等价的,但实函数中,连续不一定可微,例如y=x的绝对值,在x=0处连续但不可微.在复变函数中,可微分不一定解析,复变函数在某点处可微即可导,但在该点不一定解析,因为解析还要求在该点的某个领域内可导,解析的要求比可微强.

注意，解析是说f（x）连续，所以右边的变上限定积分可微。而不是说f（x）连续，所以f（x）可微。连续函数不一定可微，是对同一个函数说的。现在题目说的不是同一个函数，说连续的是f（x）而说可微的是等式右边的变上限定积分，两个不是一码事，当然不能套用“连续函数不一定可微”的说法啦。

1、偏导数连续是可微分充分条件，但不是必要条件。

2、比如下面这个函数f(x,y)，函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2；当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。

3、考虑这个函数在（0,0）处的微分，显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时，a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。

4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小，这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的。

5、根据导数定义可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0。

6、在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的，因为当x,y为有理数，⊿x以无理数方向趋于0时，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的极限不存在。

7、所以f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件，但f可微，所以那只是充分而非必要条件。

8、可微必定连续且偏导数存在；连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续；连续未必可微，偏导数存在也未必可微；偏导数连续是可微的充分不必要条件。

一元函数的可微性和可导性是等价的，可微和连续都是一个局部的性质，楼主可以用可微的定义推导出连续的定义，为了更好理解，建议楼主先从一维的函数做起，要很好的理解定义，特别是极限的思想。但反过来不成立，比如说y=|x|是连续的，但是在X=0不可导，更别说可微性了

好了，关于为什么连续不一定可微和为什么函数可微能推出连续的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！