为什么可导一定连续(可导为什么一定连续通俗解释)
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本文目录
可导与连续与可积的关系
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；
可微=>可导=>连续=>可积
可导为什么一定连续通俗解释
可导必连续，这是显然的。利用导数的极限定义就可以看出，如果可导。那么对应的极限存在。因为是分式型，且分母为无穷小量，那么分子必为无穷小量，也就是lim(x→x_0)f(x)-f(x_0)=0，所以lim(x→x_0)f(x)=f(x_0)。这就说明了其连续。因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等而函数可导就暗含了这个条件所以函数可导就一定连续。
为什么可导不连续
可导的范围内一定是连续的，这是由导数的定义决定的。
但是连续函数不一定可导。例如f(x)=|x|，那么f(x)在x=0这点上的左极限等于有极限等于0，所以在x=0这点是连续的。但是在这点上的左导数=-1，有导数=1，左右导数不相等，所以在x=0这点不可导。
所以可导的范围内必然连续，但是连续的范围内不一定可导。
通过函数在该点可导，得到左右导数相等，进而得到导函数的左右极限相等且等于该点导数值，从而导函数连续
可导必定连续什么意思
理解：
“可导必连续”：可以导的函数的话，如果确定一点那么就知道之后一点的走向，不会有突变。
“连续不一定可导”：连续不可导的话，像尖的顶点，那一个点是不可导的。
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扩展资料：
在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。
但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。
我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；
奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。
因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。
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