iff是什么意思(iff数学符号)
大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下iff是什么意思的问题，以及和iff数学符号的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！
本文目录
单子是什么意思
（这是关于《范畴论》一系列回答的第十篇，紧接在问题：”极限的含义？“之后，小石头将在本篇中与大家一起讨论单子。）
单子（monad）的哲学解释大家可以参考莱布尼兹的《单子论》，这里仅仅讨论数学中的单子。
在引入单子概念之前，我们先做一些准备。
首先，让我们复习一下以前介绍过的各种复合操作：
态射f:A→B,g:B→C的复合还是态射：
gf:A→C
具体定义由各个范畴结合态射的定义给出；
函子F:A→B,G:B→C的复合还是函子：
GF:A→C
定义为：
GF(f)=G(F(f)),GF(A)=G(F(A))
自然变换α:F→G,β:G→U（F,G,U:A→B,α,β:ObA→MorB）的复合还是自然变换：
β°α:F→U（β°α:ObA→MorB）
定义为：
β°α(A)=β(A)α(A)
考虑到，自然变换复合定义的特殊性，尤其是与其他复合联用时，我们一般不省略自然变换之间的复合符号。
自然变换α:F→G（F,G:A→B，α:ObA→MorB）与函子U:B→C的复合是自然变换：
Uα:UF→UG（Uα:ObA→MorC）
定义为：
Uα(A)=U(α(A))
函子F:A→B与自然自然变换α:G→U（G,U:B→C，α:ObB→MorC）的复合是自然变换：
αF:GF→UF（αF:ObA→MorC）
定义为：
αF(A)=α(F(A))
自然变换α:F→G,β:U→V（F,G:A→B,α:ObA→MorB,U,V:B→C,β:ObA→MorB）的星乘还是自然变换：
β?α:UF→VG（β?α:ObA→MorC）
定义为：
β?α=βG°Uα=Vα°βF
Uα:UF→UG,βG:UG→VG,βG°Uα:UF→VG;βF:UF→VF,Vα:VF→VG,Vα°βF:UF→VG.
然后，对于平行反向函子F:A?B:U，回忆，伴随F?B的前3种定义：
自然变换η:1?→UF（称为单位），对于每个A∈ObA，η(A)都是A到U的泛映射；
如果对于任意A∈ObA,B∈ObB，都存在自然双射φ:Hom(F(A),B)?Hom(A,U(B)):ψ(称为附属形式)；
自然变换ε:FU→1?（称为余单位），对于每个B∈ObB，ε(B)都是B到F的余泛映射；
以及，第1，3种定义分别和第2种定义之间的关系：
η(A)=φ(1????)，f=φ(g)=U(g)η(A)；
ε(B)=ψ(1????)，g=ψ(f)=ε(B)F(f)；
接下来，我们研究第1，3种定义之间的关系。
根据A的任意性，可令，
A=U(B)
则，F(A)=FU(B)。又，令，
f=1????
则，
g=ψ(f)=ψ(1????)
再根据前面的关系：ε(B)=ψ(1????)有，
g=ε(B)
将以上结果，带入前面的关系：f=φ(g)=U(g)η(A)得到①：
1????=f=φ(g)=U(ε(B))η(U(B))
即，
1?=Uε°ηU
同理，令B=F(A)，g=1????，根据前面的关系，最终，可得到②：
1?=εF°Fη
结果①和②就是第1，3种定义之间的关系，绘制成交换图如下：
我们，称①和②为三角恒等式。
三角恒等式可以作为，伴随的第4种定义的条件，即，
对于平行反向函子F:A?B:U，如果，存在自然变换η:1?→UF和ε:FU→1B并且满足三角恒等式，则F和U伴随。
上面已经从前3种定义推出了定义4，现在只要从定义4推导出定义2，就可以证明这些定义的等价性了。我们，令：
φ(g:F(A)→B)=U(g)η(A)；
ψ(f:A→U(B))=ε(B)F(f)；
则有，
φ(ψ(f))=φ(ε(B)F(f))=U(ε(B)F(f))η(A)=U(ε(B))U(F(f))η(A)∵η的自然性
∴=U(ε(B))η(U(B))f∵三角恒等式①
∴=1????f=f
ψ(φ(g))=ψ(U(g)η(A))=ε(B)F(U(g)η(A))=ε(B)F(U(g))F(η(A))∵ε的自然性
∴=gε(F(A))F(η(A))∵三角恒等式②
∴=g1????=g
于是，就是证明了φ和ψ是互逆的双射。关于φ和ψ的自然性也很容易验证（留给大家思考），这样以来我们就推出了定义2。
有了以上准备，接下来我们开始引入单子的概念。
单子
在上面的伴随中，我们以范畴A为焦点，如果，令T=UF：A→A，1=1?，则伴随的单位，可记为：
η:1→T
再考虑余单位ε:FU→1?，我们分别在ε左右复合U和F，可得到：
UεF:UFUF→U1?F
而，
UFUF=TT=T2,U1?F=UF，
于是，令μ=UεF，则有自然变换：
μ:T2→T
令B=F(A)为参数，带入三角恒等1????=Uε(B)°ηU(B)得到：
1?????=UεF(A)°ηUF(A)
1????=μ(A)°ηT(A)
即，
1=μ°ηT
对三角很等式1????=εF(A)°Fη(A)两边应用函子U，有：
U(1????)=U(εF(A)°Fη(A))
由于，函子将幺态射映射到幺态射，所以，
等式左边=1?????
根据，函子的保持复合性，知，
等式右边=UεF(A)°UFη(A)
等式两边关联的就得到：
1?????=UεF(A)°UFη(A)
1????=μ(A)°Tη(A)
即，
1=μ°Tη
将上面的得到的结果绘制成交换图Ⅰ，如下：
另一方面，考虑B中的任意态射f:X→Y,根据自然变换ε:FU→1?的自然性，有如下交换图：
令，X=FU(Y)，则有：
这时我们发现f,ε(Y)同时属于Hom(FU(Y),Y)，于是可以令f=ε(Y)，则有：
又令，Y=F(A)，则有：
再对上图应用函子U，将其从范畴B映射到范畴A，有：
将图中表达式改写成T和μ和形式，最后得到如下交换图Ⅱ：
对应关系式为：
μ°μT=μ°Tμ
综上，我们就从伴随函子F:A?B:U得到了：
定义在范畴A上的函子T:A→A，以及两个使得图Ⅰ和Ⅱ可交换的自然变换η:1→T和μ:T2→T，我们称T（以及η和μ）为单子。
Eilenberg-Moore范畴
以上，是从伴随F:A?B:U得到了A上的单子T，反过来从单子T:A→A也可以构造伴随F:A?B:U，这件事最早是由Eilenberg和Moore通过构造Eilenberg-Moore范畴，来实现的。
关于范畴A的Eilenberg-Moore范畴，记为：A?。
A?对象是由A中任意对象A和映射h:T(A)→A组成的序对(A,h)，并且要求满足条件：
1?=h°η(A)
h°μ(A)=h°T(h)
即，使得下二图可交换：
我们称(A,h)为T-代数，A称为代数的底对象，h称为代数的构造映射，条件1（上面左图）称为代数的单位律，条件2（上面右图）称为代数的结合律。
A?中的态射与A保持一致，即㈠，
f:(A,h)→(A',h')当且仅当f:A→A'
进而A中的态射的复合也就无缝迁移到了A?。
由T-代数组成的范畴A?，就是我们要构造的伴随F:A?B:U中的B。
函子U:A?→A很自然的可以定义为：
U(A,h)=A,U(f)=f
接着，观察单子的换图Ⅰ和Ⅱ中的关系式：
1(A)=μ(A)°ηT(A)
μ(A)°μT(A)=μ(A)°Tμ(A)
如果令,h=μ(A)，?=T(A)，则改写为：
1?=h°η(?)
h°μ(?)=h°T(h)
刚好满足T-代数的单位律和结合律，于是(?,h)是A?的对象，所以我们可以定义函子F:A→A?为：
F(A)=(T(A),μ(A)),F(f)=T(f)
显然，有：
UF(A)=U(T(A),μ(A))=T(A)
即，
UF=T
于是，η可记为：
η:1?→UF
再考虑，自然变换ε:FU→1??，有：
ε(A,h):FU(A,h)→(A,h)
因为FU(A,h)=F(A)=(T(A),μ(A))，所以：
ε(A,h):(T(A),μ(A))→(A,h)
又根据上面㈠处A?的规定，有：
ε(A,h):T(A)→A
而，恰恰有：
h:T(A)→A
所以，我们可以定义ε如下：
ε(A,h)=h
到此为止我们就定义出来了函子F:A?A?:U和自然变换η:1?→UF与ε:FU→1??，根据这些定义，对于任意A∈ObA，结合单子的图Ⅰ交互性，有：
εF(A)°Fη(A)=ε(T(A),μ(A))°F(η(A))=μ(A)°Tη(A)=1????=1???????=U(1????)=1????
对于任意(A,h)∈ObA?，应用T-代数的单位律，有：
Uε(A,h)°ηU(A,h)=U(h)°η(A)=h°η(A)=1?=U(1?)=1????
这样就验证了“三角恒等式”成立，故，F和U就是我们要构造的伴随。
闭包
最后，我们举一个单子的实际例子，以加深对其的理解。
回忆前面的偏序范畴Poset，其态射就是偏序关系：
A→BiffA≤B
态射的复合，就是偏序的传递性：
A≤B°B≤C=A≤C
设，T:Poset→Poset是Poset上的单子，则，首先T是函子，于是有：
T(A≤B)=T(A)≤T(B)
故，T是单调递增的。
要使得η:1→T存在，则，
η(A):A≤T(A)
就必须存在，故，显然T是上升的。
要使得μ:T2→T，存在，则，
μ(A):T2(A)≤T(A)
就必须存在，而，又有：
T(A≤T(A))=T(A)≤T2(A)
故，只能是：
T2(A)=T(A)
当然，也是，
T(A)=T2(A)=T3(A)=...
我们，称这样的T为闭包，一般记为ā=T(A)。
可以验证，闭包满足单子的要求：
μ(A)°ηT(A)=T2(A)≤T(A)°T(A)≤T2(A)=
μ(A)°Tη(A)=T2(A)≤T(A)°T(A≤T(A))=T2(A)≤T(A)°T(A)≤T2(A)=
T2(A)≤T2(A)=T(A)≤T(A)=1????
μ(A)°μT(A)=T2(A)≤T(A)°T3(A)≤T2(A)=μ(A)°Tμ(A)
故，闭包的确是单子。
闭包和单子是函数式编程中很重要的两个概念，由于本系列回答限制于数学的角度，因此不会涉及计算机语言的内容，以后有机会再和大家一起讨论《范畴论》在计算机语言中的应用。
好了，这篇回答就先到这里，关于单子还有许多内容，我们下一篇回答再继续讨论！
（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎批评指正，同时感谢大家阅读！）
iff=是什么
IFF是英文词组IdentificationFriendorFoe的缩写，意为敌我识别装置的意思。这是一种电子设备，可用于战斗机、舰艇、直升机等军事装备，用于识别敌我。
礼当是什么意思礼当是什么意思
当且仅当(英文：Ifandonlyif,或者：iff)，或称若且唯若，在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”的缩写，在英语中的对应标记为iff。
坔是什么字
坔dì古同“地”。坔làn方言，平地涌泉：坔水。笔画数：7；部首：土组词：坔水万能五笔：iff
文章到此结束，如果本次分享的iff是什么意思和iff数学符号的问题解决了您的问题，那么我们由衷的感到高兴！
